Como ya hemos determinado con anterioridad, existen dos aproximaciones diferentes que se pueden utilizar para analizar la varianza del ruido. La primera consiste en el calculo teórico de los cambios de la varianza a través de las operaciones que se aplican en los pasos del procesado. La segunda consiste en realizar una simulación de Montecarlo.

Correlación local y reducción de ruido

El propósito del cálculo teórico de la varianza es hallar dicha varianza para el ruido de salida ndeb, basándose en la del ruido de entrada nc. Para investigar matemáticamente la influencia del debayerizado, se estudia su algoritmo más simple: la interpolación bilineal.

Ejemplo de interpolación bilineal sobre el cuadrado unidad con valores de z la magnitud iguales 0, 1, 1 y 1/2. El color indica el valor para los valores interpolados.
Ejemplo de interpolación bilineal sobre el cuadrado unidad con valores de z la magnitud iguales 0, 1, 1 y 1/2. El color indica el valor para los valores interpolados.

La interpolación bilineal puede considerarse una transformación lineal. A pesar de que los algoritmos de debayerizado que se emplean en el procesado de imagen son –por regla general– más sofisticados, se pueden mostrar los métodos principales por medio de éste tan sencillo.

Varianza de ruido después del debayerizado bilineal

La interpolación bilineal del valor de un pixel de verde gi,j es el promedio de los valores de verde adyacentes.

g_{i,j} = \frac{1}{4} ( g{i-1,j}+g{i+1,j}+g{i,j-1}+g{i,j+1} )

Asumiendo que la varianza de todas las muestras de verde sea la misma, la varianza de los valores de verde interpolados es:

{\sigma}^2(g_{i,j}) = \frac{1}{4} {\sigma}^2 (g_{muestreo})

Esto nos lleva a una varianza más baja tras el debayerizado. Se puede realizar una investigación similar con la interpolación para el rojo y el verde. Como tenemos un 50% de las muestras de los valores de verde y otro 50% de valores de verde interpolados, la varianza total del verde debería ser:

0.5 (\frac{1}{4}{\sigma}^{2}_{g}+{\sigma}^{2}_{g}) = 0.0625 {\sigma}^{2}_{g}

Esto iguala los valores que se obtienen por simulación en una imagen –720 x 1.280 píxeles– que se muestran en la siguiente tabla:

\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline \textbf{\small{Canal Rojo}} & \textbf{\small{Canal Verde}} & \textbf{\small{Canal Azul}} \\ \hline \hline \begin{math} 0.56\,{\sigma}^{2}_{n} \end{math} &\begin{math} 0.62\,{\sigma}^{2}_{n} \end{math} &\begin{math} 0.56\,{\sigma}^{2}_{n} \end{math} \\ \hline \end{tabular} 

En dicha tabla los números son precisos hasta un nivel de dos decimales. Este cálculo teórico se puede realizar muy fácilmente para el método de debayerizado bilineal, dada su extrema sencillez. Proporciona resultados precisos, al igual que lo hace la simulación. Pero queda por resolver la cuestión de si se pueden utilizar ambos para otros métodos de debayerizado. El cálculo de la varianza después de una transformación lineal es simple, pero la mayoría de los algoritmos de debayerizado están compuestos por varios pasos, lo que complica los cálculos. Además, tales pasos pueden ser no lineales, lo que implica que son necesarias aproximaciones lineales.

Varianza de ruido después del debayerizado de cámara

El debayerizado de cámara –Ada3– es un ejemplo de un método más complejo, ya que realiza muchos pasos. Para el debayerizado de cámara, la varianza de salida se ha calculado paso a paso, basándose en la presunción de que se trate de regiones homogéneas.

Esta hipótesis es valida para la mejora de algoritmos de reducción de ruido, ya que el ruido es más visibles en regiones de la imagen homogéneas que en regiones con distintos matices y texturas. Como los pasos no lineales necesitan ser aproximados y no se tiene en cuenta la correlación, los pequeños errores se acumulan en los cálculos. El error general depende de la señal y del color. Puede resultar significativo en el caso de algunos valores de señal, en particular para los valores de color saturados.

No obstante, la simulación proporciona resultados precisos para todos los valores de la señal dado el gran tamaño de imagen que se emplea en ella. Además, tal simulación proporciona la posibilidad de generar resultados para algoritmos que no están publicados. Esto supone una ventaja clara cuando se consideran los datos de cámara, ya que los algoritmos de datos de cámara no se suelen publicar. Basándonos en tosas estas consideraciones, la mejor elección es la simulación. Es suficientemente precisa y más flexible.

Debayerizado.
Debayerizado.

El análisis que acabamos de realizar muestra que la varianza del ruido es más baja después del debayerizado. Este resultado –el debayerizado reduce el ruido– puede parecer sorprendente, teniendo en cuenta que el debayerizado no aspira a reducir el ruido y que la calidad de imagen decrece con el debayerizado –si nos atenemos a las conclusiones de nuestro artículo previo de esta serie–.

Lo que ocurre es que, a pesar de que es correcto afirmar que el debayerizado reduce el ruido, dicha reducción no conlleva la obtención de una imagen final más agradable visualmente. Tal fenómeno se debe a la introducción de errores de debayerizado y al subsiguiente cambio en las características del ruido. Para comprender los motivos, necesitamos estudiar no sólo la varianza de pixeles individuales, sino también la correlación entre los pixeles.

Correlación espacial del ruido tras el debayerizado

Para evaluar la influencia del debayerizado en diferentes métodos, utilizaremos en primer lugar el conjunto de imágenes de prueba estandarizadas de Kodak. La elección responde al hecho de que la mayoría de los algoritmos presentes en la literatura científica se han optimizado empleando esas imágenes de prueba, pero también a que sus resultados se sostienen para datos de otras imágenes.

Conjunto de imágenes de prueba de Kodak.
Conjunto de imágenes de prueba de Kodak.

La correlación espacial del ruido se evalúa después de debayerizar una imagen ruidosa y otra libre de ruido. La diferencia entre ambas contiene el error introducido por el ruido. Se emplea esta diferencia para calcular histogramas 2D de la distribución del ruido y de la matriz de la correlación C para distintos algoritmos de debayerizado.

Trama dispersa del ruido en una imagen Kodak ruidosa antes (a) y después del debayerizado (b, c). Se ha utilizado la primera imagen Kodak y se le ha agragado AWGN con δ = 20. De izquierda a derecha, los canales de verde y azul.
Trama dispersa del ruido en una imagen Kodak ruidosa antes (a) y después del debayerizado (b, c). Se ha utilizado la primera imagen Kodak y se le ha agragado AWGN con δ = 20. De izquierda a derecha, los canales de verde y azul.

La incidencia de los valores de error para dos pixeles adyacentes aparece en forma de trama en los histogramas 2D. El color representa la frecuencia –número de incidencias–; la posición en la trama representa el valor del error. En (a) se proporcionan las tramas dispersas para una imagen con AWGN sin debayerizado. La distribución es simétrica, tal y como era de esperar para el ruido no correlacionado. En (b) y (c) se muestran las tramas dispersas del ruido después de un debayerizado empleando  la interpolación bilineal y el método propuesto por Wenmiao Lu y Yap-Peng Tan respectivamente.

Estas tramas están desperdigadas en dirección diagonal, lo que indica una correlación: es más probable que un pixel tenga un valor de error idéntico o similar al de sus adyacentes. No se muestra el canal de rojo, porque los métodos de debayerizado interpolan los canales de azul y rojo del mismo modo y por tanto las tramas dispersas de azul y rojo tienen una apariencia muy similar.

C_{bilin} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5693 & 0.1243 \\ 0.5715 & 0.3214 & 0.07181 \\ 0.1284 & 0.07425 & 0.0191 \end{bmatrix} \quad C_{DLMMSE} = \begin{bmatrix} 1 & 0.2239 & -0.0066 \\  0.375 & 0.06351 & 0.03626 \\ -0.003771 & 0.03715 & 0.03545 \end{bmatrix}
Matrices de correlación para diferentes métodos de debayerizado, calculadas empleando el AWGN y el conjunto de imágenes de Kodak.

Si calculamos las matrices C de correlación de la tabla que hemos visto anteriormente, contienen la correlación entre un pixel (i, j) y sus adyacentes. Para ser más exactos, la entrada (k, l) en la matriz corresponde a la correlación del pixel adyacente (i+k, j+l). Proporcionamos los números para la interpolación lineal y el DLMMSE.

Mientras que en el modelo usual de ruido no correlacionado, los valores de ruido no se correlacionan con los adyacentes y derivan en una matriz con sólo un uno en la posición superior izquierda, estas matrices correlacionadas muestran que –tras el debayerizado– está presente una fuerte correlación a los pixeles adyacentes. Las matrices son de 3×3 porque los números fuera de estas regiones son muy pequeños.

La interpolación bilineal presenta la correlación más pronunciada. Dicha correlación implica que los algoritmos de reducción de ruido espacial que confían en los valores adyacentes no funcionarán adecuadamente en datos debayerizados. Los métodos de reducción de ruido que operan sobre datos Bayer son –en consecuencia– de gran interés.

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